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수학적 모델링›지수함수와 로그함수
고등 2학년수학Ⅰ지수함수와 로그함수동적 그래프 풀이공개

지수함수의 평행이동과 세 점 P, Q, R

문제 속 단서가 교점 방정식과 그래프 평행이동의 두 풀이를 어떻게 여는지 단계별로 설명합니다.

PROBLEM

문제

직선 y=2x+ay=2x+a가 두 함수 f(x)=(25)x+1−14,g(x)=(25)x−2+94f(x)=\left(\frac{2}{5}\right)^{x+1}-\frac{1}{4},\qquad g(x)=\left(\frac{2}{5}\right)^{x-2}+\frac{9}{4} 의 그래프와 만나는 점을 각각 PP, QQ라 하자. 점 PP를 지나는 직선 y=56x+by=\frac{5}{6}x+b가 gg의 그래프와 만나는 점을 RR이라 한다. PQ‾=25\overline{PQ}=2\sqrt{5}일 때, a+b+PR‾ 2a+b+\overline{PR}^{\,2} 의 값을 구하여라. (단, aa, bb는 상수이다.) ① 774\frac{77}{4}　 ② 23312\frac{233}{12}　 ③ 23512\frac{235}{12}　 ④ 794\frac{79}{4}　 ⑤ 23912\frac{239}{12}

MATHEMATICAL REASONING

단서를 따라 풀이 경로를 선택하세요

슬라이더 없이 문제 해석, 개념 선택, 두 가지 풀이와 독립 검산을 순서대로 확인합니다.
SYSTEM-7 REASONING MAP

문제의 단서가 풀이 방법을 어떻게 여는가

구할 것a+b+PR‾ 2a+b+\overline{PR}^{\,2}
단서의 수학적 의미

최종 목표는 a, b, PR²을 각각 구해 합치는 것입니다.

연결 개념목표에서 거꾸로 필요한 중간값 찾기
열리는 풀이 경로두 풀이의 공통 목표
공통 줄기기울기 2 + 거리 PQ좌표 차 → P, Q → a
방법 1교점의 정의P → b → 연립 → R
방법 2그래프 이동P → 대응점 → 기울기 → R

핵심 관점이 다른 두 방법을 모두 전개합니다. 계산 순서만 다른 경로와 벡터 방법은 제외했습니다.

1 / 8문제 해독 · 목표와 필요한 중간값을 분리합니다
-3-2-1012345012345678xy
f(x)=(25)x+1−14f(x)=\left(\frac{2}{5}\right)^{x+1}-\frac{1}{4}
g(x)=(25)x−2+94g(x)=\left(\frac{2}{5}\right)^{x-2}+\frac{9}{4}

SOLUTION

풀이와 관찰

문제 해독과 풀이 갈림길 구할 것은 a+b+PR‾ 2a+b+\overline{PR}^{\,2} 이므로 먼저 PP, QQ를 구해 aa를 결정하고, PP를 이용해 bb와 RR을 구한 뒤 PR‾ 2\overline{PR}^{\,2}을 계산합니다. “PP, QQ가 같은 직선 y=2x+ay=2x+a 위에 있다”는 단서는 기울기와 좌표 변화량을, “PQ‾=25\overline{PQ}=2\sqrt5”는 두 점 사이의 거리를 사용하게 합니다. 이 두 단서는 두 풀이의 공통 줄기입니다. 그다음 “직선과 gg의 교점 RR”을 두 식의 동시 만족으로 읽으면 풀이 1이, 두 지수함수 식의 지수와 상수항 차이를 그래프 이동으로 읽으면 풀이 2가 열립니다. 공통 줄기 두 지수함수 사이에는 g(x)=f(x−3)+52g(x)=f(x-3)+\frac{5}{2} 의 관계가 있습니다. 즉, ff의 그래프를 오른쪽으로 33, 위쪽으로 52\frac{5}{2}만큼 평행이동하면 gg의 그래프가 됩니다. P=(p, q)P=(p,\,q), Q=(p+h, q+2h)Q=(p+h,\,q+2h)로 놓으면 PQ‾ 2=h2+(2h)2=20\overline{PQ}^{\,2}=h^2+(2h)^2=20 이고 h>0h>0이므로 h=2h=2입니다. 따라서 Q=(p+2, q+4)Q=(p+2,\,q+4)입니다. P=(p, f(p))P=(p,\,f(p))로 놓고 g(p+2)=f(p)+4g(p+2)=f(p)+4를 풀면 (25)p=52\left(\frac{2}{5}\right)^p=\frac{5}{2} 이므로 p=−1p=-1, P=(−1, 34)P=\left(-1,\,\frac{3}{4}\right)입니다. 따라서 a=114a=\frac{11}{4}입니다. 풀이 1 · 교점 방정식을 이용하는 방법 PP를 y=56x+by=\frac{5}{6}x+b에 대입하면 b=1912b=\frac{19}{12}입니다. 이제 gg와 직선의 교점을 직접 구합니다. (25)x−2+94=56x+1912\left(\frac{2}{5}\right)^{x-2}+\frac{9}{4} =\frac{5}{6}x+\frac{19}{12} 왼쪽은 감소하고 오른쪽은 증가하므로 해는 하나뿐입니다. x=2x=2가 이 식을 만족하므로 R=(2, 134)R=\left(2,\,\frac{13}{4}\right) 입니다. 따라서 PR‾ 2={2−(−1)}2+(134−34)2=614\overline{PR}^{\,2} =\{2-(-1)\}^2+\left(\frac{13}{4}-\frac{3}{4}\right)^2 =\frac{61}{4} 입니다. 풀이 2 · 그래프의 평행이동을 이용하는 방법 P=(−1, 34)P=\left(-1,\,\frac34\right)를 오른쪽으로 33, 위쪽으로 52\frac52만큼 옮긴 점은 gg 위에 있습니다. 두 점을 잇는 직선의 기울기는 523=56\frac{\frac52}{3}=\frac56 이므로 이 점은 PP를 지나고 기울기가 56\frac56인 직선 위에도 있습니다. 따라서 그 점이 바로 RR이고, R=(−1+3, 34+52)=(2, 134)R=\left(-1+3,\,\frac34+\frac52\right) =\left(2,\,\frac{13}{4}\right) 입니다. 그러므로 b=1912b=\frac{19}{12}이고 PR‾ 2=614\overline{PR}^{\,2}=\frac{61}{4}입니다. 두 풀이 모두 마지막 계산은 a+b+PR‾ 2=114+1912+614=23512a+b+\overline{PR}^{\,2} =\frac{11}{4}+\frac{19}{12}+\frac{61}{4} =\frac{235}{12} 이므로 정답은 ③입니다.
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