중학교 2학년
1학기 수학

유리수는 두 정수 $a,b$에 대하여 $\frac{a}{b}$의 꼴로 나타낼 수 있는 수입니다. 유리수를 소수로 나타내면 나누어떨어지는 유한소수이거나 소수점 아래가 끝없이 이어지는 무한소수가 됩니다.

무한소수 중 일정한 숫자 배열이 되풀이되는 소수를 순환소수라고 합니다.

분수를 기약분수로 만든 뒤 분모를 소인수분해합니다. 분모의 소인수가 2와 5뿐이면 분모를 $10$의 거듭제곱으로 바꿀 수 있으므로 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

순환소수에서 한없이 되풀이되는 가장 짧은 숫자 배열을 순환마디라고 합니다. 순환마디가 시작되는 자리와 길이를 확인한 뒤, 적절한 $10$의 거듭제곱을 곱하여 소수 부분을 서로 빼면 분수로 바꿀 수 있습니다.

같은 밑의 거듭제곱을 곱하거나 나눌 때는 지수의 덧셈과 뺄셈으로 정리합니다. 거듭제곱을 다시 거듭제곱할 때는 지수를 곱합니다.

단항식의 곱셈은 계수끼리, 같은 문자끼리 각각 계산합니다. 나눗셈은 나누는 식의 역수를 곱하는 식으로 바꾸거나 계수와 문자 부분을 각각 나눕니다.

다항식의 덧셈과 뺄셈은 괄호를 풀고 동류항끼리 모아 계산합니다. 식 앞에 음의 부호가 있으면 괄호 안 모든 항의 부호가 바뀝니다.

단항식과 다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용해 단항식을 다항식의 모든 항에 곱합니다. 다항식을 단항식으로 나눌 때는 각 항을 그 단항식으로 나눕니다.

부등식은 두 수 또는 두 식의 크기를 비교한 식입니다. 부등식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 부등식의 해라고 하며, 해 전체는 수직선으로 나타낼 수 있습니다.

양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호의 방향은 유지됩니다. 양변에 같은 양수를 곱하거나 나누어도 방향은 유지되지만, 음수를 곱하거나 나누면 방향이 바뀝니다.

일차부등식은 항을 이항하고 동류항을 정리하여 $ax>b$와 같은 형태로 바꿉니다. 마지막에 미지수의 계수로 나눌 때 그 계수의 부호를 반드시 확인합니다.

구하려는 양을 미지수로 정하고 ‘이상, 이하, 초과, 미만’과 같은 표현을 부등호로 바꿉니다. 부등식을 푼 뒤 정수·자연수·단위 등의 조건에 맞는 값만 선택합니다.

• 미지수 정하기
• 부등식 세우기
• 부등식 풀기
• 상황의 조건에 맞게 해석하기

두 미지수를 포함하는 두 일차방정식을 한 쌍으로 묶은 것을 연립일차방정식이라고 합니다. 두 방정식을 동시에 만족시키는 순서쌍 $(x,y)$가 연립방정식의 해입니다.

가감법은 두 방정식의 한 미지수 계수의 절댓값을 같게 만든 뒤 더하거나 빼서 그 미지수를 없앱니다. 대입법은 한 방정식을 한 미지수에 관해 정리하여 다른 방정식에 대입합니다.

서로 다른 두 수량을 각각 미지수로 정하고, 문제에서 얻은 두 독립적인 관계를 두 방정식으로 나타냅니다. 해를 구한 뒤 두 원래 조건에 모두 대입해 검산합니다.

• 두 미지수의 뜻과 단위 정하기
• 서로 다른 관계식 두 개 세우기
• 연립방정식 풀기
• 두 조건에 모두 대입해 확인하기

두 변수 $x,y$에서 $x$의 값이 정해질 때 $y$의 값이 오직 하나로 정해지면 $y$는 $x$의 함수입니다. 함수 $y=f(x)$에서 $x=a$일 때의 값 $f(a)$를 함숫값이라고 합니다.

함수 $y=ax+b$에서 $a\ne0$이면 $y$는 $x$의 일차함수입니다.

일차함수 $y=ax+b$의 그래프는 직선입니다. $b=0$이면 원점을 지나고, $b$가 변하면 기울기가 같은 직선이 위아래로 평행이동합니다.

그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표가 $x$절편이고, $y$축과 만나는 점의 $y$좌표가 $y$절편입니다. 기울기는 $x$의 증가량에 대한 $y$의 증가량의 비입니다.

기울기가 양수이면 $x$가 증가할 때 $y$도 증가하고, 기울기가 음수이면 $y$는 감소합니다. 두 직선의 기울기가 같고 $y$절편이 다르면 두 그래프는 서로 평행합니다.

기울기와 $y$절편이 주어지면 $y=ax+b$에 바로 대입합니다. 기울기와 한 점 또는 서로 다른 두 점이 주어지면 먼저 기울기를 구한 뒤 점의 좌표를 대입하여 $b$를 구합니다.

두 양 사이에 일정한 변화율이 있으면 그 관계를 일차함수로 나타낼 수 있습니다. 그래프를 해석할 때는 두 축의 양과 단위, 처음 값, 기울기가 뜻하는 실제 변화량을 확인합니다.

일차방정식 $ax+by+c=0$의 해 $(x,y)$를 좌표평면에 나타내면 한 직선이 됩니다. $b\ne0$이면 식을 $y=-\frac abx-\frac cb$로 바꾸어 기울기와 절편을 읽을 수 있습니다.

연립일차방정식의 해는 두 일차방정식의 그래프가 만나는 교점의 좌표입니다. 두 직선의 위치 관계에 따라 해가 한 개이거나, 없거나, 무수히 많을 수 있습니다.