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2022 REVISED CURRICULUM · HIGH SCHOOL

고등학교 2학년
확률과 통계

가능한 경우를 세고, 우연을 측정하고, 표본으로 전체를 추론합니다

중복순열·중복조합과 이항정리로 경우를 구조화하고 조건부확률과 독립으로 사건의 관계를 해석합니다. 확률분포와 표본분포를 바탕으로 모평균과 모비율을 추정합니다.

3개 대단원23개 핵심 개념전체 개념 시각화

SEMESTER MIND MAP

고2 2학기 전체 마인드맵

세기, 확률 계산, 확률분포와 통계적 추정의 흐름을 연결합니다.
  1. 1가능한 경우 세기순열·조합·이항정리
  2. 2우연의 수량화확률·조건부확률·독립
  3. 3분포의 해석기댓값·분산·정규분포
  4. 4모집단 추론표본분포·신뢰구간
Ⅰ

COUNTING METHODS

경우의 수

중복을 허용하거나 같은 것이 포함된 배열을 세고, 이항정리로 전개식의 항과 계수를 구조화합니다.

이 단원의 학습목표

  1. 1중복순열과 같은 것이 있는 순열의 수를 구한다.
  2. 2중복조합을 별과 막대 또는 방정식의 음이 아닌 정수해로 해석한다.
  3. 3이항정리의 일반항을 이용해 특정 항과 계수를 구한다.
01

중복순열

중복순열 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

서로 다른 nn개에서 중복을 허용하여 rr개를 택해 나열할 때 각 자리마다 nn가지 선택이 가능합니다.

nrn^r
02

같은 것이 있는 순열

같은 것이 있는 순열 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

같은 것끼리 자리를 바꾸어 생기는 중복을 각각의 계승으로 나눕니다.

n!p!q!r!⋯(p+q+r+⋯=n)\frac{n!}{p!q!r!\cdots}\qquad(p+q+r+\cdots=n)
03

중복조합

중복조합 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

중복을 허용한 선택을 별 rr개와 구분 막대 n−1n-1개를 배열하는 문제로 바꿉니다.

nHr=n+r−1Cr=n+r−1Cn−1{}_nH_r={}_{n+r-1}C_r={}_{n+r-1}C_{n-1}
04

이항정리

이항정리 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

(a+b)n(a+b)^n의 각 항은 aa와 bb를 선택하는 횟수에 따라 조합 계수를 갖습니다.

(a+b)n=∑k=0nnCkan−kbk(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{}_nC_k a^{n-k}b^k
05

이항정리의 활용

이항정리의 활용 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

일반항의 지수를 조건에 맞추어 특정 차수의 항, 상수항 또는 계수를 찾습니다.

Tk+1=nCkan−kbkT_{k+1}={}_nC_k a^{n-k}b^k
Ⅱ

PROBABILITY

확률

표본공간과 사건을 집합으로 표현하고 조건부확률·독립·독립시행의 구조로 확률을 계산합니다.

이 단원의 학습목표

  1. 1시행·표본공간·사건의 뜻과 확률의 기본 성질을 설명한다.
  2. 2확률의 덧셈정리와 조건부확률을 적용한다.
  3. 3사건의 독립을 판정하고 독립시행의 확률을 구한다.
01

시행과 사건

시행과 사건 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

반복 가능한 우연 실험이 시행이고, 가능한 모든 결과의 집합이 표본공간 SS, 그 부분집합이 사건입니다.

A⊆SA\subseteq S
02

확률의 뜻

확률의 뜻 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

각 근원사건이 일어날 가능성이 같을 때 사건의 원소 수를 표본공간의 원소 수로 나눕니다.

P(A)=n(A)n(S),0≤P(A)≤1P(A)=\frac{n(A)}{n(S)},\qquad0\le P(A)\le1
03

기하적 확률

기하적 확률 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

점이 균일하게 선택될 때 길이·넓이·부피의 비로 확률을 구합니다.

P(A)=사건 영역의 측도전체 영역의 측도P(A)=\frac{\text{사건 영역의 측도}}{\text{전체 영역의 측도}}
04

확률의 덧셈정리

확률의 덧셈정리 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

두 사건을 더할 때 공통부분이 두 번 세어지므로 한 번 뺍니다.

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
P(Ac)=1−P(A)P(A^c)=1-P(A)
05

조건부확률

조건부확률 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

사건 AA가 일어났다는 조건에서 표본공간을 AA로 제한하여 BB의 확률을 다시 계산합니다.

P(B∣A)=P(A∩B)P(A)(P(A)>0)P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\qquad(P(A)>0)
06

사건의 독립과 종속

사건의 독립과 종속 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

한 사건의 발생이 다른 사건의 확률을 바꾸지 않으면 두 사건은 독립입니다.

P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)
P(B∣A)=P(B)P(B\mid A)=P(B)
07

독립시행의 확률

독립시행의 확률 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

성공 확률이 pp인 시행을 nn번 독립적으로 반복할 때 성공 횟수의 위치를 조합으로 선택합니다.

P(X=r)=nCrpr(1−p)n−rP(X=r)={}_nC_rp^r(1-p)^{n-r}
Ⅲ

STATISTICS

통계

확률분포의 중심과 산포를 계산하고 정규분포와 표본분포를 이용해 모집단의 모수를 추정합니다.

이 단원의 학습목표

  1. 1확률변수의 분포에서 기댓값·분산·표준편차를 구한다.
  2. 2이항분포·정규분포·연속확률분포의 확률을 계산한다.
  3. 3표본평균과 표본비율의 분포를 이해하고 모평균·모비율을 추정한다.
01

확률변수와 확률분포

확률변수와 확률분포 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

표본공간의 각 결과에 실수를 대응시키는 함수가 확률변수이며, 가능한 값과 확률의 대응이 확률분포입니다.

pi≥0,∑ipi=1p_i\ge0,\qquad\sum_i p_i=1
02

기댓값·분산·표준편차

기댓값·분산·표준편차 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

기댓값은 분포의 중심, 분산과 표준편차는 흩어진 정도를 나타냅니다.

E(X)=∑ixipiE(X)=\sum_i x_ip_i
V(X)=E(X2)−{E(X)}2,σ(X)=V(X)V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2,\qquad\sigma(X)=\sqrt{V(X)}
03

이항분포

이항분포 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

독립시행에서 성공 횟수 XX는 이항분포를 따릅니다.

X∼B(n,p),E(X)=np,V(X)=np(1−p)X\sim B(n,p),\qquad E(X)=np,\quad V(X)=np(1-p)
04

연속확률변수와 확률밀도함수

연속확률변수와 확률밀도함수 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

연속확률변수의 구간 확률은 확률밀도함수 아래의 넓이로 구합니다.

f(x)≥0,∫−∞∞f(x) dx=1f(x)\ge0,\quad\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1
P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx
05

정규분포

정규분포 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

정규분포를 표준화하면 평균 0, 표준편차 1인 표준정규분포의 표를 이용할 수 있습니다.

X∼N(m,σ2),Z=X−mσ∼N(0,1)X\sim N(m,\sigma^2),\qquad Z=\frac{X-m}{\sigma}\sim N(0,1)
06

이항분포와 정규분포의 관계

이항분포와 정규분포의 관계 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

시행 횟수가 충분히 크면 이항분포를 평균과 분산이 같은 정규분포로 근사합니다.

B(n,p)≈N ⁣(np,np(1−p))B(n,p)\approx N\!\left(np,np(1-p)\right)
07

모집단과 표본

모집단과 표본 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

조사 대상 전체가 모집단이고, 모집단에서 일부를 뽑은 것이 표본입니다. 표본은 임의추출해야 합니다.

모집단⊃표본\text{모집단}\supset\text{표본}
08

모평균과 표본평균

모평균과 표본평균 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

표본평균은 모평균의 불편추정량이며 표본 크기가 클수록 분산이 작아집니다.

E(X‾)=m,V(X‾)=σ2nE(\overline X)=m,\qquad V(\overline X)=\frac{\sigma^2}{n}
09

모비율과 표본비율

모비율과 표본비율 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

표본비율은 표본에서 관심 특성을 가진 비율이며 모비율을 추정하는 데 사용합니다.

p^=Xn,E(p^)=p,V(p^)=p(1−p)n\widehat p=\frac{X}{n},\qquad E(\widehat p)=p,\quad V(\widehat p)=\frac{p(1-p)}{n}
10

모평균의 추정

모평균의 추정 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

표본평균을 중심으로 표준오차와 신뢰수준에 따른 값을 더하고 빼 신뢰구간을 만듭니다.

X‾±1.96σn(95% 신뢰구간)\overline X\pm1.96\frac{\sigma}{\sqrt n}\qquad(95\%\text{ 신뢰구간})
11

모비율의 추정

모비율의 추정 개념을 설명하는 수학 도식
식의 구조와 개념 사이의 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

표본 크기가 충분히 클 때 표본비율의 정규근사를 이용해 모비율의 신뢰구간을 구합니다.

p^±1.96p^(1−p^)n\widehat p\pm1.96\sqrt{\frac{\widehat p(1-\widehat p)}{n}}

SEMESTER REVIEW

가능한 경우를 체계적으로 세고 우연을 확률로 표현하며,
표본에서 얻은 정보로 모집단을 합리적으로 추론합니다.

경우의 수→조건부확률⋅독립→확률분포→정규분포→통계적 추정\text{경우의 수}\rightarrow\text{조건부확률·독립}\rightarrow\text{확률분포}\rightarrow\text{정규분포}\rightarrow\text{통계적 추정}
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