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2022 REVISED CURRICULUM · HIGH SCHOOL

고등학교 1학년
1학기 공통수학1

식의 구조에서 행렬의 관계까지

다항식을 전개하고 인수분해하는 원리에서 출발해 방정식과 부등식을 대수와 그래프로 해석합니다. 이어 경우를 체계적으로 세고, 행렬로 여러 자료와 관계를 표현합니다.

4개 대단원35개 핵심 개념LaTeX 시각 자료

SEMESTER MIND MAP

1학기 전체 마인드맵

식의 변형과 해석이 선택과 배열, 행렬의 연산으로 확장됩니다.
  1. 1식의 구조화전개·나눗셈·인수분해
  2. 2해의 해석방정식·함수·부등식
  3. 3선택의 계산경우의 수·순열·조합
  4. 4관계의 배열행렬과 연산
01

POLYNOMIALS

다항식

다항식의 연산 구조를 익히고 항등식·나머지정리·인수정리를 연결하여 식을 전개하고 인수분해합니다.

이 단원의 학습목표

  1. 1다항식의 사칙연산과 곱셈 공식을 정확하게 활용한다.
  2. 2항등식의 성질과 나머지정리·인수정리를 설명하고 적용한다.
  3. 3식의 구조에 맞는 인수분해 전략을 선택한다.
01

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

다항식을 한 문자에 대하여 정리한 뒤 괄호를 풀고 동류항의 계수끼리 계산합니다. 빼는 식의 모든 항은 부호가 바뀝니다.

A−B=A+(−B)A-B=A+(-B)
(3x2−2x+1)−(x2+4x−3)=2x2−6x+4(3x^2-2x+1)-(x^2+4x-3)=2x^2-6x+4
02

다항식의 곱셈

다항식의 곱셈 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

분배법칙과 지수법칙을 이용해 각 항을 빠짐없이 곱합니다. 원하는 항의 계수만 필요할 때는 그 항이 만들어지는 곱만 선택합니다.

a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac
[xk]{A(x)B(x)}=∑i+j=kaibj[x^k]\{A(x)B(x)\}=\sum_{i+j=k}a_ib_j
03

곱셈 공식

곱셈 공식 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

자주 나타나는 전개 구조를 공식으로 정리하면 계산을 줄이고 식의 대칭성을 볼 수 있습니다.

(a±b)2=a2±2ab+b2(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2
(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
04

곱셈 공식의 변형

곱셈 공식의 변형 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

합·차·곱이 주어졌을 때 직접 값을 구하지 않고 곱셈 공식을 재배열하여 필요한 식의 값을 구합니다.

a2+b2=(a+b)2−2aba^2+b^2=(a+b)^2-2ab
a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
05

다항식의 나눗셈과 조립제법

다항식의 나눗셈과 조립제법 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

나누는 식보다 나머지의 차수가 낮아질 때까지 계산합니다. 일차식으로 나눌 때는 계수만 배열한 조립제법을 사용할 수 있습니다.

A(x)=B(x)Q(x)+R(x),deg⁡R<deg⁡BA(x)=B(x)Q(x)+R(x),\qquad\deg R<\deg B
x−a로 나눌 때 조립제법에 a를 사용x-a\text{로 나눌 때 조립제법에 }a\text{를 사용}
06

항등식과 미정계수법

항등식과 미정계수법 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도 성립합니다. 계수 비교법 또는 계산이 간단해지는 값을 대입하는 수치 대입법으로 미정계수를 정합니다.

ax2+bx+c≡a′x2+b′x+c′⇒a=a′, b=b′, c=c′ax^2+bx+c\equiv a'x^2+b'x+c'\Rightarrow a=a',\ b=b',\ c=c'
07

나머지정리와 인수정리

나머지정리와 인수정리 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

다항식을 일차식으로 나눈 나머지는 특정 함수값으로 바뀝니다. 나머지가 0인 경우가 바로 인수를 판별하는 조건입니다.

f(x)=(x−a)Q(x)+f(a)f(x)=(x-a)Q(x)+f(a)
f(a)=0⟺x−a는 f(x)의 인수f(a)=0\Longleftrightarrow x-a\text{는 }f(x)\text{의 인수}
08

인수분해

인수분해 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

공통인수를 먼저 확인한 뒤 곱셈 공식을 역으로 적용하여 합의 꼴을 곱의 꼴로 바꿉니다.

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
09

복잡한 식의 인수분해

복잡한 식의 인수분해 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

공통부분 치환, 두 항씩 묶기, 한 문자에 대한 이차식으로 보기, 인수정리를 차례로 검토합니다.

X=x2+ax로 치환⇒X에 대한 인수분해X=x^2+ax\text{로 치환}\Rightarrow X\text{에 대한 인수분해}
f(a)=0⇒f(x)=(x−a)Q(x)f(a)=0\Rightarrow f(x)=(x-a)Q(x)
02

EQUATIONS & INEQUALITIES

방정식과 부등식

복소수로 수의 범위를 확장하고 이차방정식·이차함수·고차방정식과 여러 부등식을 대수와 그래프로 해석합니다.

이 단원의 학습목표

  1. 1복소수의 뜻과 연산을 이해하고 이차방정식의 근을 판별한다.
  2. 2이차방정식과 이차함수의 관계, 최대·최소를 설명한다.
  3. 3고차방정식과 여러 부등식을 인수분해와 그래프로 해결한다.
01

복소수

복소수 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

허수단위 ii를 이용하면 음수의 제곱근을 나타낼 수 있고 모든 복소수는 실수부와 허수부로 구분됩니다.

i2=−1,qquadz=a+bi(a,b∈R)i^2=-1,qquad z=a+bi\quad(a,b\in\mathbb R)
02

복소수의 연산

복소수의 연산 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

덧셈·뺄셈은 실수부와 허수부끼리 계산하고, 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 곱해 분모를 실수로 만듭니다.

(a+bi)(a−bi)=a2+b2(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2
z+w‾=zˉ+wˉ,qquadzw‾=zˉwˉ\overline{z+w}=\bar z+\bar w,qquad\overline{zw}=\bar z\bar w
03

허수단위 i의 거듭제곱과 음수의 제곱근

허수단위 i의 거듭제곱과 음수의 제곱근 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

ii의 거듭제곱은 네 번마다 반복됩니다. 음수의 제곱근을 다룰 때는 먼저 ii를 이용해 바꾼 뒤 계산합니다.

i,i2=−1,i3=−i,i4=1i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1
−a=a i(a>0)\sqrt{-a}=\sqrt a\,i\quad(a>0)
04

이차방정식

이차방정식 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

인수분해·완전제곱식·근의 공식을 상황에 맞게 선택하여 이차방정식을 풉니다.

ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0\quad(a\ne0)
x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
05

이차방정식의 판별식

이차방정식의 판별식 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

판별식의 부호는 실수 범위에서 서로 다른 두 근, 중근, 실근 없음의 세 경우를 구분합니다.

D=b2−4acD=b^2-4ac
D>0:서로 다른 두 실근,quadD=0:중근,quadD<0:두 허근D>0:\text{서로 다른 두 실근},quad D=0:\text{중근},quad D<0:\text{두 허근}
06

이차방정식의 근과 계수의 관계

이차방정식의 근과 계수의 관계 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

이차식을 두 근을 이용해 인수분해하고 계수를 비교하면 근의 합과 곱을 직접 구할 수 있습니다.

α+β=−ba,qquadαβ=ca\alpha+\beta=-\frac ba,qquad\alpha\beta=\frac ca
a(x−α)(x−β)=ax2+bx+ca(x-\alpha)(x-\beta)=ax^2+bx+c
07

이차방정식과 이차함수의 관계

이차방정식과 이차함수의 관계 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

이차방정식의 실근은 포물선과 xx축이 만나는 점의 xx좌표이며 판별식은 교점의 개수와 연결됩니다.

f(x)=0⟺y=f(x)와 x축의 교점f(x)=0\Longleftrightarrow y=f(x)\text{와 }x\text{축의 교점}
08

이차함수의 최대·최소

이차함수의 최대·최소 개념을 설명하는 수학 도식
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완전제곱식으로 바꾸어 꼭짓점을 찾고 정의역이 제한되면 꼭짓점과 양 끝점의 함수값을 비교합니다.

y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q
a>0:최솟값 q,qquada<0:최댓값 qa>0:\text{최솟값 }q,qquad a<0:\text{최댓값 }q
09

삼차방정식과 사차방정식

삼차방정식과 사차방정식 개념을 설명하는 수학 도식
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인수정리로 일차인수를 찾거나 공통부분을 치환하여 차수가 낮은 방정식들의 곱으로 바꿉니다.

f(a)=0⇒f(x)=(x−a)Q(x)f(a)=0\Rightarrow f(x)=(x-a)Q(x)
10

삼차방정식의 근과 계수의 관계

삼차방정식의 근과 계수의 관계 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

세 근을 이용한 인수분해식과 원래 삼차식의 계수를 비교하여 대칭식을 계산합니다.

α+β+γ=−ba\alpha+\beta+\gamma=-\frac ba
αβ+βγ+γα=ca,qquadαβγ=−da\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac ca,qquad\alpha\beta\gamma=-\frac da
11

방정식 x³=1의 허근

방정식 x³=1의 허근 개념을 설명하는 수학 도식
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x3−1x^3-1을 인수분해하면 한 실근과 두 허근이 나오며 허근의 대칭 관계를 반복 계산에 활용합니다.

x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
ω3=1,qquad1+ω+ω2=0\omega^3=1,qquad1+\omega+\omega^2=0
12

미지수가 2개인 연립이차방정식

미지수가 2개인 연립이차방정식 개념을 설명하는 수학 도식
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한 미지수를 소거하거나 x+yx+y, xyxy와 같은 대칭식을 새 문자로 두어 일변수 방정식으로 바꿉니다.

x2+y2=(x+y)2−2xyx^2+y^2=(x+y)^2-2xy
{x+y=sxy=p⇒t2−st+p=0\begin{cases}x+y=s\\xy=p\end{cases}\Rightarrow t^2-st+p=0
13

일차부등식

일차부등식 개념을 설명하는 수학 도식
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부등식의 기본 성질로 미지수를 한쪽에 정리합니다. 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향을 바꿉니다.

a<b,c<0⇒ac>bca<b, c<0\Rightarrow ac>bc
14

연립일차부등식

연립일차부등식 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

각 부등식의 해를 구한 뒤 수직선에서 공통부분을 찾습니다. 공통부분이 없으면 해가 없습니다.

{x>ax≤b⇒a<x≤b\begin{cases}x>a\\x\le b\end{cases}\Rightarrow a<x\le b
15

절댓값 기호를 포함한 일차부등식

절댓값 기호를 포함한 일차부등식 개념을 설명하는 수학 도식
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절댓값을 거리로 해석하거나 절댓값 안의 식의 부호가 바뀌는 지점을 기준으로 구간을 나눕니다.

∣x−a∣<r⟺a−r<x<a+r|x-a|<r\Longleftrightarrow a-r<x<a+r
∣x−a∣>r⟺x<a−r 또는 x>a+r|x-a|>r\Longleftrightarrow x<a-r\text{ 또는 }x>a+r
16

이차부등식

이차부등식 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

이차함수 그래프가 xx축보다 위 또는 아래에 있는 구간을 읽어 부등식의 해를 구합니다.

a(x−α)(x−β)>0의 해를 그래프의 부호로 판단a(x-\alpha)(x-\beta)>0\text{의 해를 그래프의 부호로 판단}
17

이차부등식의 해의 조건

이차부등식의 해의 조건 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

모든 실수에서 항상 성립하는 조건은 포물선의 방향과 판별식을 함께 확인합니다.

ax2+bx+c>0 (∀x)⟺a>0, D<0ax^2+bx+c>0\ (\forall x)\Longleftrightarrow a>0,\ D<0
18

연립이차부등식

연립이차부등식 개념을 설명하는 수학 도식
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각 이차부등식의 해를 따로 구하고 수직선에 나타내어 공통부분을 선택합니다.

S=S1∩S2S=S_1\cap S_2
19

이차방정식의 실근의 조건

이차방정식의 실근의 조건 개념을 설명하는 수학 도식
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실근의 존재는 판별식으로, 두 근의 부호는 합과 곱으로, 특정 구간에서의 위치는 함수값과 축을 함께 이용합니다.

D≥0,qquadα+β=−ba,qquadαβ=caD\ge0,qquad\alpha+\beta=-\frac ba,qquad\alpha\beta=\frac ca
03

COUNTING

경우의 수

가능한 경우를 구조적으로 분류하고 순서를 고려하는 순열과 순서를 고려하지 않는 조합으로 계산합니다.

이 단원의 학습목표

  1. 1합의 법칙과 곱의 법칙을 이용해 경우의 수를 구한다.
  2. 2순열의 뜻과 계산 원리를 이해하고 조건 있는 배열에 적용한다.
  3. 3조합의 뜻과 성질을 이해하고 선택 문제에 적용한다.
01

경우의 수

경우의 수 개념을 설명하는 수학 도식
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서로 겹치지 않는 경우 중 하나를 택하면 더하고, 여러 단계가 차례로 이어지면 각 단계의 선택 수를 곱합니다.

n(A 또는 B)=n(A)+n(B)n(A\text{ 또는 }B)=n(A)+n(B)
n(A 그리고 B)=n(A)n(B)n(A\text{ 그리고 }B)=n(A)n(B)
02

순열

순열 개념을 설명하는 수학 도식
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서로 다른 대상에서 일부를 선택해 순서를 고려하여 나열합니다. 이웃 조건은 묶음, 이웃하지 않는 조건은 여사건을 검토합니다.

nPr=n(n−1)⋯(n−r+1)=n!(n−r)!{}_nP_r=n(n-1)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}
03

조합

조합 개념을 설명하는 수학 도식
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순서를 고려하지 않고 대상을 선택합니다. 순열에서 같은 선택의 배열 수 r!r!만큼을 나누면 조합이 됩니다.

nCr=nPrr!=n!r!(n−r)!{}_nC_r=\frac{{}_nP_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}
nCr=nCn−r{}_nC_r={}_nC_{n-r}
04

MATRICES

행렬

자료를 행과 열로 표현하고 행렬의 기본 연산과 곱셈의 정의·성질을 이용해 관계를 계산합니다.

이 단원의 학습목표

  1. 1행렬의 뜻, 꼴, 성분과 두 행렬이 같은 조건을 이해한다.
  2. 2행렬의 덧셈·뺄셈과 실수배를 수행한다.
  3. 3행렬의 곱셈을 수행하고 곱셈의 성질을 설명한다.
01

행렬의 뜻

행렬의 뜻 개념을 설명하는 수학 도식
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수나 문자를 직사각형으로 배열한 것이 행렬입니다. 제ii행과 제jj열이 만나는 성분을 (i,j)(i,j) 성분이라 합니다.

A=(aij)m×nA=(a_{ij})_{m\times n}
A=B⟺같은 꼴이고 대응 성분이 모두 같다A=B\Longleftrightarrow\text{같은 꼴이고 대응 성분이 모두 같다}
02

행렬의 덧셈·뺄셈과 실수배

행렬의 덧셈·뺄셈과 실수배 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

같은 꼴의 행렬끼리 대응 성분을 더하거나 뺍니다. 실수배는 모든 성분에 그 실수를 곱합니다.

(A±B)ij=aij±bij(A\pm B)_{ij}=a_{ij}\pm b_{ij}
(kA)ij=kaij(kA)_{ij}=ka_{ij}
03

행렬의 곱셈

행렬의 곱셈 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수가 같을 때, 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 곱해 더하여 성분을 만듭니다.

Am×nBn×p=(AB)m×pA_{m\times n}B_{n\times p}=(AB)_{m\times p}
(AB)ij=∑k=1naikbkj(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}
04

행렬의 곱셈의 성질

행렬의 곱셈의 성질 개념을 설명하는 수학 도식
개념의 구조와 관계를 그림에서 먼저 확인해 보세요.

행렬의 곱셈에는 결합법칙과 분배법칙이 성립하지만 일반적으로 교환법칙은 성립하지 않습니다. 단위행렬은 곱셈의 항등원입니다.

(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)
A(B+C)=AB+AC,qquadAB≠BA (일반적으로)A(B+C)=AB+AC,qquad AB\ne BA\text{ (일반적으로)}
AE=EA=AAE=EA=A

SEMESTER REVIEW

식을 구조화하고 해를 해석하면,
선택과 관계를 하나의 수학 언어로 표현할 수 있습니다.

다항식→방정식⋅부등식→경우의 수→행렬\text{다항식}\rightarrow\text{방정식·부등식}\rightarrow\text{경우의 수}\rightarrow\text{행렬}
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